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Wir wissen, daß die Phase einer Wellenfunktion nicht meßbar ist. Man kann sie mit einer globalen Eichtransformation beliebig umdefinieren. Die Tatsache, daß sich dadurch nichts ändert, nennt man globale Eichinvarianz. In Quantenfeldtheorien fordert man darüber hinaus auch eine lokale Eichinvarianz, d.h. die Invarianz unter einer zeit- und ortsabhängigen Phasentransformation. Wir wollen dies Anhand der QED rekapitulieren:
eine beliebige Funktion sein. Die lokalen
Eichtransformationen bilden zusammen die Gruppe
U
:
U
,
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(8.46) |
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(8.47) |
.
Unser Ziel ist es nun, eine Eichtheorie für die elektroschwache
Wechselwirkung aufzustellen. Dabei werden wir vorerst nur die
Leptonen
,
berücksichtigen - die Quarks können ganz analog
behandelt werden. Die linkshändigen Zustände der Leptonen können
wir als linkshändiges Dublett schreiben und entsprechende
Projektionsoperatoren definieren:
Wir fassen nun dieses linkshändige Dublett als Basisdarstellung einer
neuen Symmetrie SU(2)
dem
schwachen Isospin, auf. Die zugehörigen Quantenzahlen sind:
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Pauli-Matrizen,
darstellen.
Die 
-Bosonen koppeln an Linearkombinationen der Komponenten des
schwachen Isospinstromes:
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Auf die Relevanz des neutralen schwachen Stromes 
,
Im Gegensatz zur schwachen Wechselwirkung koppelt die
elektromagnetische Wechselwirkung auch an rechtshändige
geladene Leptonen
.
Um dies zu berücksichtigen, zerlegen wir zunächst den
elektromagnetischen Vektorstrom in
rechts- und linkshändigen Anteil:
ein,
dem wir bezüglich SU(2)
die Quantenzahlen 
, 
zuordnen. Außerdem betrachten wir die schwache Hyperladung 
mit zugehöriger Symmetrie U(1)
Die schwache Hyperladung ist über die
Gell-Mann-Nishina-Relation (8.53) mit
der elektrischen Ladung und dem schwachen Isospin verknüpft:
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: |
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linkshändiges Dublett | ||
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: |  |
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rechtshändiges Singulett |
Analog zu (8.50) ergibt sich der schwache Hyperladungsstrom zu:
Transformationen:
bzw. 
die SU(2)
- bzw.
U(1)-Eichfelder und 
bzw. 
die zugehörigen
Kopplungskonstanten. Die Feldstärketensoren lauten dann analog wie in
QED (8.48) und QCD (7.33):
8.58)
eine Selbstwechselwirkung der Eichfelder, nämlich die Kopplungen von
drei und vier 
-Feldern.
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(8.59) |
-Bosonen sind die 
-Eichfelder in
(8.60), womit sich die bekannte V
A-Theorie für
Leptonen ergibt:
an den elektromagnetischen Strom. Photon und
sind durch eine Drehung mit und 
verbunden:
Weinberg-Winkel. Experimentell
erhält man:
-Lepton-Kopplung paritätsverletzend ist. Anders als bei
ist hier jedoch die Paritätsverletzung nicht maximal, sondern nur
teilweise.
allein auf
Symmetrieprinzipien basiert, müssen wir nur die
Quantenzahlen der Quarks bezüglich des schwachen Isospins und der schwachen
Hyperladung festlegen.
ist gleich der Summe der elektrischen Ladungen in einem Dublett.
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Da die CKM-Matrix unitär ist (
), hat sie keinen
Einfluß auf den neutralen schwachen Strom bzw. die
-Quark-Kopplung:
Noch nicht behandelt haben wir das Problem, daß bislang alle vier
Eichbosonen , und 
masselos sind.
Dies ist eine Konsequenz der
SU(2)
U(1)-Eichsymmetrie: Die Massenterme
U(1)-Eichsymmetrie. Lösen läßt
sich dieses Problem durch spontane Symmetriebrechung.
Der Preis für diese Lösung ist allerdings die Einführung neuer
skalarer Higgsfelder, die bislang experimentell nicht
nachgewiesen wurden.
Komplexes skalares Higgsdublett:
im Frühstadium des
Universums nur
ein Minimum hatte (Abb. 8.31). Später kam es nach
einiger Abkühlung zu einer spontanen Symmetriebrechung (Abb.
8.32), die mit der beim
Ferromagnetismus vergleichbar ist.
Im Grundzustand ist nach Abb. 8.32
.
und
an das Higgsdublett erfolgt wieder durch
minimale Substitution
und
parametrisieren:
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(8.77) |
beschreibt dabei die Elementaranregungen des Higgsfeldes.
Alle
sind mit
entartete, gleichwertige Grundzustände (Vakua), da das Potential
für alle diese
Zustände den gleichen Wert annimmt. Die drei Freiheitsgrade
beschreiben sogenannte masselose
Goldstone-Bosonen. Diese können jedoch weggeeicht werden.
Vernachlässigt man die Higgsteilchen
, so erhält man:
- und -Bosonen mit folgenden Massen:
Theoretisch ergibt sich also die Massenrelation:
erhält man
außerdem als Erwartungswert des Higgsfeldes:
Die orthogonale Linearkombination
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(8.79) |
Der Higgsmechanismus liefert also eine
erhält man:
Die Higgsmasse
